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一、证明题

1． 设f , g :

（1）（2）

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

则. 所以对

等价于

. 利用不等式, 有

这表明

, 当

即

故

.

2． 证明:若f （x ）在[a, b]上只有第一类间断点, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n ,

存在互异点列

. 由致密性定理, 存在但 3． 设

证明:【答案】因

即可.

设

. 对D 内任何点（x , y ）, 由于

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,

, 且当b = 0时可逆;

, 证明:

所以, .

, 即b=0时可逆.

时, 有

使

的子列从xQ 的左方或右方收敛于与

,

不收敛, 即不存在, 这与f （x ）只有第一类间断点矛盾.

在D 上一定可取得

处

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知

最大值和最小值, 下证在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点

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即

所以故

4．

设

而

故

的最大值和最小值只能在D

的边界上取得.

不可能在

D 内部取得极值,

，证明:

【答案】因为

所以

5

． 证明:若级数

与

收敛, 则级数

和

也收敛

, 且

【答案】

因为

又所以

及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛. 又因为

及闵可夫斯基不等式

对

6． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以

在

因为

上严格单调递增.

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页

收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

取极限, 进而可得所证明的不等式.

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于是当时, 有, , 即

故对

, 成立

二、解答题

7． 长10米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为8千克, 问将此铁索提出地面需作多少功？

【答案】取铁索的一小段为微元, 则有

8． 作函数导法, 得

由

, 可知x=l为垂直渐近线. 又因为

所以有斜渐近线

. 根据表和渐近线, 画出函数图形如图所示.

表

的图形.

由定义可求出

;

当

时, 利用对数求

【答案】

函数的定义域为

, 故

图

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