2018年辽宁师范大学数学学院数学系850数学分析[专业硕士]考研基础五套测试题
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一、证明题
1． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但在此点不可微. 【答案】因为
从而
所以, f （x , y）在点（0, 0）连续. 由偏导数定义知
同理但当
时, 其值为0. 所以,
上, 证明:
为偶函数; 为奇函数;
的定义域关于原点都是对称的.
故. 故于是
可表示为一个奇函数与一个偶函数之和. 绝对收敛, 证明级数
也收敛.
若上述条件中只知道
绝对收敛,
故级数
收敛, 能丨收敛,
为为
上的偶函数. 上的奇函数. 而
是偶函
2． 设函数f 定义在
（1）（2）【答案】（1）（2）
（3）由（1）、（2）得数,
3．
老
推得进而
是奇函数. 故
且级数
收敛吗？ 【答案】
由
收敛.
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所以, f （x , y）在点（0, 0）的偏导数存在.
考察
由于当
时,
其值为
不存在, 故f （x , y ）在点（0, 0）不可微.
（3） f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.
可得
又因为级数
若仅知道则
4． 设
收敛, 未必有收敛. 如
且
收敛,
但在点
发散.
连续, 证明f （x , y ）在点
可微.
在点存在,
在点
【答案】因为其中
. 于是有
存在, 由一元函数的可微性知
令
时有
故f （x , y ）在点
5． 设f （x ）定义在[a, b]上
证明:存在子列, 从而
可微.
在x 0处有左、右导数; 令
, 使
【答案】令
则
而
由致密性定理, 令q=l—p , 则
6． 设函数f （x ）在闭区间[0, 1]上连续, 在开区间（0, 1）内可微, 且f （0）=f（1）=0，证明:
（1）存在（2）存在【答案】（1）令
, 使得使得
, 则
.
,
有收敛子列
使
又设
. 因为fy （x , y ）在
点
, 即
连续, 所以
当
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∵函数∴函数
在闭区间在闭区间
上连续, 上连续.
使得
即存在
使得
由连续函数的零点存在定理知, 存在
（2）令显然在闭区间上连续, 在开区间
内可微. 由于
且由（1）的结论知, 存在根据罗尔中值定理, 存在
使得使得
由于
所以有
二、解答题
7． 应用定理:设函数f , g , h在
（1）（i ）若（ii ）若
【答案】（1）因为
（2）, 则则
所以
由定理可得
内有定义, 且有
求下列极限:
（2）因为
所以
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