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一、证明题

1． 设

（1）

均有【答案】

处处连续,

对任何x 有连续导数；

上, 当足够小时, 可使

）.

与

一致逼近（即任给

,

对一切

其中为任何正数, 证明:

（2）在任意闭区间

因为

处处连续, 所以

连续, 即

对任何x 有连续导数

.

所以由洛必达法则可得

故对任给

当足够小时, 对一切

均有

即所证结论成立.

2． 应用詹森不等式证明:

（1）设

, 有

（2）设

, 有

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, 其中

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【答案】设

由

可知

则

为区间

,

上严格凸函数根据詹姆森不等式有

即

因而

, 把这个不等式中的n

个正数换成, 则得到

于是原不等式得证

. （2）设a>0,

b>0, p>1,

g>1,

,

代入

得

于是

令

得

不等式两端同时乘以

, 再对k=l, 2, …, n 时的不等式两端分别相加, 得

3． 对下列命题, 若认为是正确的, 请给予证明; 若认为是错误的. 请举一反例予以否定:

（1）设（2）设（3）设（4）设可导. 而题设矛盾.

第

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, 由（1）知－lnx 为凸函数, 令

, 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f 在点x 0—定不可导; , 若f 在点x 0可导, 则, 在点x 0可导;

, 若在点x 0可导, 在点x 0不可导, 则f

在点x 0—定不可导.

,

, 则

, f （x ）在

处

与

在x 0=0处都不可导.

在x 0也可导. 这与

【答案】（1）命题错误. 如取

（2）命题正确. 反证法. 假如f 在点x 0可导, 又因在点x 0也可导, 则

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（3）命题错误. 如取处处不可导. （4）命题错误.

如取在

4． 设函数

（1）存在（2）存在【答案】（1）因为同样由,

.

（2）由致密性定理知, （1）中的数列此时的c 就是满足要求的点.

5． 证明:若级数

与收敛, 则级数

如此继续, 可

得

不可导, 而f （x ） =0在x 0=0可导.

在闭区间

上无界, 证明: 使得使得对任意的

的无界性知, 存在.

（狄利克雷函数）, 则, 则

在

可导

.

处处可导.

但

在使得满

足

上无界. 使得

所

以

.

在闭区间[a, b]上无界, 所以存在

存在收敛子列（不妨仍记为本身）, 记

和也收敛, 且

【答案】因为

又所以

及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛. 又因为

收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

对

取极限, 进而可得所证明的不等式.

二、解答题

6． （1）设

（a0且

）, 求

;

（2）设f （x ）是三次多项式, 且有

求

.

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