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一、证明题

1． 设f （x ）是

使得

【答案】记（1）若存

在

则

这表明为上L.

由

（2）若存在（3）若存在于是, 有

2． 证明定理及其推论.

【答案】用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体

设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于

上任一点, 在

上有

按下标j 与k 相加, 则有

及

由于f （x , y , z ）在V 上可积, 当上可积, 且

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.. 上的有界连续函数, 证明:对任意T0, 存在数列满足,

分三种情况讨论.

, 使得

当

, 而且

是单调递增数列. 注意到f （x ）的有界性, 利用单调有界定理,

, 可得

, 使得当

满足:

, 使得

时, 恒有

. 这种情形可仿照（1）证明.

. 使得

, 而且

. . 存在, 记

时, 恒

有

,

即

.

取

由连续函数根的存在定理知, 存在

时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a, b]

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3．

证明:若级数

收敛,

绝对收敛, 则级数收敛

, 则其部分

和数列

也收敛.

有界. 设存在正数M

, 使得

【答案】因为级

数

又因为即

收敛, 从而

绝对收敛, 由阿贝尔变换知

又由即

,

收敛可知收敛. 设

则

所以 即

4．

证明函数

在

上连续. （提示:证明中可利用公式

据

所以

为积分下限函数是﹣y 的连续函数, 所以

F

（y ）在

5． 设f 为可导函数,

证明:若x=1时有

【答案】由复合函数求导法则, 有

由题设x=1时即

6． 证明:

（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则

与与

都为闭集； 都为开集； 为闭集

为开集.

故

, 得

或

.

, 则必有

或

.

上连续.

【答案】令 x －y=u, 因此 x=u＋y ,

收敛.

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【答案】（1）设P 为于是也有

为闭集

.

故同理可证（2）设设使得

即为开集,

则有'

且

的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列

中的无限多项, 不妨设

从而P 为F 1的聚点

.

因而F 1和F 2至少有一个集合含有

为闭集. 也为闭集.

有

由于

或从而有使得

使得

不妨设

, 因此

为开集.

则存在点A 的某邻域U （A ）使得

也存在点B 的某邻域

其中

为开集, 则存在点B 的某邻

因此, 存在点B 的邻域所以

为开集.

（3）若F 为闭集, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知

为闭集

为开集.

c c

, ,

二、解答题

7． 求下列极限:

）1（

【答案】（1）

（2）

.

（2）

8． 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?

【答案】令

在实数集R 上

恒成立. 但

.

及

, 这与极限的局部保

恒成立, 而在某一点

处有

这同极限的局部保号

号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求 9． 设

, 其中y=f（x ）为由方程

,

得

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所确定的隐函数, 求

【答案】由方程