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一、证明题

1． 设p 为正整数. 证明:若p 不是完全平方数, 则

【答案】反证法. 假设使得

2． 证明在

【答案】设

上,

, 则

所以所以当

在时, 有

上严格单调递增.

. 即

设所以于是当

在时, 有,

因为

上严格单调递增.

, 即

故对

, 成立

.

于是

这与m , n互质矛盾, 所以

是无理数. 由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于是

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n ,

且

3． 证明:若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, g （x , y ）在D 上可积且不变号, 则存在一点

使 得

【答案】不妨设

. 令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值, 从而

若若

, 则由上式, 则必大于0, 于是

. 于是任取

即可.

由介值性定理, 存在, 使得

即

4． 设f 为[a, b]上二阶可导函数, 点

由同理, 存在又因为存在 5． 证明

:

任意正数.

【答案】由于

有

当x>1时, 关于x 单调递减, 且当

由狄利克雷判别法知该积分在若该积分在

内一致收敛, 则对

时一致收敛于0, , 使得

因为

另一方面, 由于

若

, 则,

所以

则

, 当x>A时有,

当

时有, 因而

; . 于是当, 取

, 则

矛盾, 故原积分在

内不一致收敛.

时,

有

在

上一致收敛; 在

内不一致收敛, 其中a0与为

在

使, 使得

使得

使

得

.

. 于是有

, 并存在一点

使得

证明至少存在一

【答案】因f （x ）在[a, c]上满足拉格朗日中值定理, 故存在

上可导, 由拉格朗日中值定理知,

上一致收敛.

二、解答题

6． 讨论

【答案】①连续性:

在（0, 0）点的连续性和可微性.

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从而连续. ②可微性

:

显然不连续；同样

7． 设f

在

（c 为常数）. 【答案】由题意可知, 故故

其中

为常数.

8． 求下列不定积分:

（1）（3）（5）

（7）（9）（11）（13）（15）（17）【答案】 （1）

不连续. 故不可微

.

, 且在任何有限区间内,

, 试证

上有任何阶导数, 记

在任何有限区间内连续, 且

由

积分可得

,

（2） （4） （6） （8） （10） （12） （14） （16）（18）

.