2017年上海财经大学数学学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】所以故
当
=时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
分别对应
平面上坐标曲线
如图1、2所示
由反函数组定理知，存在函数
组
证明：当
时，
可以用来作为曲线坐标，解出
作为
的函数；画出平面上
所对应的坐标曲线；计算
并验证它们互为倒数.
图1 图2
因
而前面已算得
即
2． 设
互为倒数. 证明：
【答案】(1)
(2) 用数学归纳法证明. 由(1) 知，当n=l时，命题成立. 假设当n=k时，命题成立，则当n=k+l时，
即当
3． 设f (x ) 处处连续，
(1) F (x ) 对任何x 有连续导数；
(2) 在任意闭区间[a, b]上，当足够小时，可使F (x ) 与f (x ) —致逼近(即任给
均有【答案】
(1
)
对一切
其中为任何正数，证明：
时，命题也成立. 于是(2) 的结论得证.
因为f (x ) 处处连续，所以
(2
)
所以由洛必达法则可得
故对任给
当足够小时，对一切
均有
即所证结论成立.
连续，即F (x ) 对任何x 有连续导数.
4．
设是闭区间[a, b]上的连续可导函数.
记
证明
：
是有限集.
无限，则
假设
且
【答案】用反证法：若但介于
而在某个与x 之间，这与
内亦有
于是当n 充分大时，
中值定理矛盾. 所以
是有限集.
二、解答题
5． 求下列函数的导数：
【答案】
6． 已知直线运动方程为运动的平均速度及
【答案】
令即
7． 求证含参量广义积分
【答案】任取(1) 当a>0时，因为收敛.
(2) 当a=0时，
且充分小，使得
当
时，有
若若
则
因为广义积分
收敛，所以存
分别令求从至这一段时间内
时的瞬时速度.
可求得平均速度分别为
时的瞬时速度为
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间
分两种情况讨论：
收敛，所以广义积分
在[a，b]上一致
当时故