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一、证明题

1． 设总体μ，则

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

是0的任一无偏估计，

为样本，证明，

分别为

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

因而

2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

3． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

4． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

【答案】该二元正态分布的密度函数为

此处,

故

是

从而

注意到

上式可化解为

于是样本的联合密度函数为

由因子分解定理知, 结论成立.

5． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

6． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以