2018年华北理工大学理学院823高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
是（ ）二次型.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B. 3． 设
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩
. ，可知线性相关 线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
线性无关 则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
从而可由线性表出.
4． 齐次线性方程组
线性相关，故选D.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当故选C.
使则（ ）.
由，用右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
时，
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5． 若
则
A.m+n
B.-（m+n） C.n-m D.m-n
【答案】C
都是4维列向量，且4
阶行列式=（ ）.
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
二、分析计算题
6．
给定两个四维向量作为它的前两个列向量.
【答案】
令
得线性方程组
解得一般解为
取基础解系
则
是
的基. 正交化, 得
再单位化得
则正交矩阵
7． 计算n 阶行列式
为所求. 则
是w 的标准正交基.
. 求作一个4阶正交矩阵Q , 以
【答案】解法1:按第一行展开得，