2018年华北电力大学(保定)数理系807高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
则A=（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由题设知，
所以
2． 设
是3维向量空间
的一组基,
则由基到基的过渡矩阵为（A.
B.
C.
D.
【答案】A
3． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ A. B. C.
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）.
.
）
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D.
【答案】C 【解析】
方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
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线性无关.
所以向量组线性无关.
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则为（ ）.
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二、分析计算题
6． 已知.
【答案】因为
令
其中a ，b 为待定常数.
当结合
时，
而
求
所以A 的最小多项式为
代入得
代入式（2）得
将A 代入式（1），
在式（1）两边同取一阶导数，且以
是A 的最小多项式，有
7． 设
与
分别是齐次方程组
, 可写成
其中第一个向量属于于是有
8． 设
，
第二个向量属于
再
由
故
.
即有
知
又易知
.
的解空间，证明
【答案】任意
求
【答案】
A 的特征值为
.
，则
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属于1的特征向量设为
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