2018年郑州大学机械工程学院956力学(理论力学、材料力学)之理论力学考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度转动的规律为
（式中t 以s 计，
示。如轮的半径r=0.2m，求此时点A 的绝对加速度。
在小车上有一轮绕O 轴转动，
以rad 计）。当t=ls时，轮缘上点A 的位置如图1所
图1
【答案】以轮上A 点为动点，小车为动系，建立如图所示坐标系，绝对运动为曲线运动，相对运动为定轴转动，牵连运动为直线运动。如图2所示。
图2
轮子在t=ls时的角速度和角加速度为
由
可得，在x 、y 两个方向上的分量为
其中
解得
所以
2． 质量为m 的重物悬挂在刚度系数为k 的弹簧上, 且在光滑的铅垂滑道中运动. 在重物的中心处铰接一个质量为M 、长为21的匀质杆, 杆在铅垂平面内运动, 如图1所示.
（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标； （2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （3）写出系统的第二类拉格朗日方程； （4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分
.
图1
【答案】（1）以整个系统为研究对象, 物块和杆均做平面运动, 该系统具有两个自由度. 选重物A 的中心的垂直坐标y 和杆的偏角为广义坐标, 如下图所示. 因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力, 所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解.
（2）以A 的中心C 点为基点分析AB 杆质心D 的速度, 如图2所示
.
图2
根据速度合成公式有
其中系统动能为
选为零势能点, 设弹簧的原长为则系统的势能为
故系统的拉格朗日函数为
（3）求各偏导数
将以上各式代入第二类拉格朗日方程
（4）求其首次积分
因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即