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一、计算题

1． 车厢的振动可以简化为支承于两个弹簧上的物体在铅垂面内的振动, 如图所示. 设支承于弹簧上的车厢质量为m , 相对于质心C 的转动惯量为两轮轴的距离分别为

两弹簧的刚度系数分别为

质心距前后

试列出车厢振动的微分方程

.

图

【答案】如图所示, 以

为广义坐标, 以最低位置为平衡位置.

将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:

2． 二级火箭中各级的质量分别为

如果火箭的总质量完时的速度为最大，

则

并问当耗尽的时间为t , 则:

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则系统的动能和势能分别为:

和各级中包括的燃料质量分别为及.

载荷的质量为

为给定值，且燃料喷射的相对速度应满足下面的条件:

常数. 试证明要使火箭在燃烧

时，火箭在燃烧完的速度为最大值时的质量比

【答案】取火箭为研究对象，设火箭的质量为，其上作用的外力为mg ，燃料

将上式分离变量并积分

燃料耗尽时，则有

因此燃料耗尽的时间为:

将代入式（1）可得:

若载荷质量为把

由①②③可得:

代入上式有

3． 当点作曲线运动时，点的加速度a 是恒矢量，如图所示。问点是否作勾变速运动？

图

【答案】因为切向加速度大小变化，所以点不作匀变速运动。

4． 图所示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆OA=1.5m，在铅垂面内转动，杆AB=0.8m，A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为设运动开始时，角

求运动过程中角

杆AB 始终铅垂。

与时间的关系，以及点B 的轨迹方程。

此时火箭的速度达到最大值，设此时火箭质量为

图

【答案】由于AB 杆平动，因此

当_

时

因为

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所以B 点轨迹方程为

5 在图1所示构架中, 各杆单位长度的重量为300N/m, 载荷．

为铰链。求固定端A 处及B , c 铰链处的约束力。

, A 处固定端, B , C , D 处

图1

【答案】（1）以整体为研究对象, 受力如图2（a ）所示。

图2

由平衡方程

得

其中, 解得

（2）以CD 为研究对象, 受力如图2（b ）所示。 由平衡方程

得

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