当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1．

设

是周期为

的连续函数，且其傅里叶级数

处处收敛，求证这个傅

里叶级数处处收敛到

【答案】设

由条件知由费耶定理，知故

2． 设

在

利用极限的性质，得一致收敛于收敛于

上连续且满足

，证明：

【答案】显然，

有

对上式从0到1积分，得

在上式两边同乘以正数

得

最后一步的不等式是根据函数 3． 设

【答案】

则.

证明f (x ，y ) 在D 上连续，但不一致连续.

由极限的四则运算法则知

所以f (x ，y ) 在点在D 中取两个点列

连续，从而f (x , y) 在D 上连续.

则

第 2 页，共 46 页

所以

有最大值而得到的.

但

所以f (x , y) 在D 上不一致连续. 4． 设集

证明:复合函数【答案】设点存在又且

其中

使对一切

在xy 平面中的点集E 上一致连续

在D 上一致连续，

在E 上一致连续. 为D 上任意两个点. 由于只要

在E 上一致连续，因此，对上述的时，有

因此

故复合函数

在E 上一致连续.

使得

则存在使得

即

使的

即

由

5． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列

【答案】令M=l，存在且

如果已找到

令

则存在

使得

再令

在D 上一致连续，

从而对任给的就有

存在

把点集E 映射为平面中的点

使当

归纳原理知，存在一递増数列使得

6． 利用单调有界原理证明下列结论：

(1)

设(2)

设(3)

设

等。

【答案】(1) 因为

所以则数列则数列

收敛； 收敛；

则

单调递增. 由不等式

与得

都存在且相

即有上界，从而数列收敛.

第 3 页，共 46 页

(2) 因为

所以

又因为

即

单调递减.

所以

即

有下界. 从而数列

收敛。

因为

所以当

时有

又

所以

单调递减，

单调递增，从而当

时，有

即

有下界，

有上界，从而它们的极限都存在. 设其极限分别为和

则对

两

(3) 由已知

边取极限得

二、解答题

7． 设f (X ) 存在连续的导函数，有

试求：

【答案】作球坐标变换

则

于是有

第 4 页，共 46 页