2018年宁夏大学数学计算机学院815线性代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
②
③
与
为空间的两组基, 且
①
则（ ）.
A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令
将①代入④得
由②有
④
即 2． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
矩阵，
是非齐次线性方程组
的通解为（ ）.
故.
的3个线性无关的解，
为任意
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
考虑到
3． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C
是. 的一个特解，所以选C.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
线性无关.
则分块矩阵
所以
5． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
与
的解空间分别为
则
所以
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
二、分析计算题
6． 设n 阶方阵A 的全部特征值证
（1）当A 可逆时, （2）当A 不可逆时,
【答案】 （1）由A 可逆, 则其特征值所以
则记
则个特征值当
因为
所以
相应的特征向量为
并求出
全不为0, 因为
的特征值为求
且
相应的特征向量.
记则结论成立.
则
的特征值0
的重数
记
.
若
不妨设
故所有非零n 维列向量都是其特征向量.
若
（2）当A 不可逆时
,
线性无关, 因为
0的几何重数为
又
则
故第n
是
是不全为0的数.
0的线性无关的特征向量, 故0的所有特征向量为
的特征向量是是非零数, 且0的特征向量是式 .