2018年青岛理工大学理学院816高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设为数域K 上全体n+1阶对称方阵作成的K 上的线性空间, 式作成的K 上的线性空间. 证明:
【答案】令则所有是
又易知所有
作成
的一基,
其个数就是
展开后
为都是
阶方阵, 令
阶对称方阵, 共有
个且显然为的一基. 因此
,
的维数
元素是1其余元素全为零的
是K 上三元n 次齐次多项
非同类项的项数, 亦即从三个元素x , y, z中每次取n 个的重复组合数, 即
这也就是的维数. 由于
2． 已知线性方程组
的维数相同, 故同构.
（I
）
的一个基础解系为
试写出线性方程组 （II
）
的通解，并说明理由. 【答案】令
则（1）可写为（3）:
（2）可写为（4）:
由题意知
此即
所以
再由假设知
秩
因而秩方程
个基础解系，故
3． 求多项式其中
在实数范围内，当n 为奇数时：
其中
是一个实数，
当n 为偶数时：
4． （1）设n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式及最小多项式，问A 与B 是否相似？若是，则给予证明; 若不是，则举出反例;
（2）
设
，这里
都只有一个特征
值
. 证明A 与B 相似的充分必要条件
是
的特征子空间.
分别表示A , B 的属于
在复数范围内和在实数范围内的因式分解.
【答案】利用n 次单位根的三角表示，可得在复数范围内：
故
，的通解为
其中
为任意常数.
方程
的基础解系所含向量个数秩
于是
是
的一
线性无关. 而
是
的n 个解.
的基础解系所含向量个数
【答案】 （1）矩阵A 与B 不一定相似，例如：
显然，A 与B 的特征多项式同为构成，B 由两个
（2）必要性. 因为A 与B 相似，所以
, 但由于A 由3个
，最小多项式同为
与
相似, 从而
块, 故
块构成，是两个不同的标准形，所以A 与B 不相似.
充分性. 记A , B 的所以
标准形分别为，因为A , B 都只有一个特征值，
都只能有以下3种可能性:
现在，由于因此 5． 设故
因为
可逆阵
所以
使
，故A 与B 相似.
, 所以
，从而
A 、B 均为正定阵，则AB 正定
因为A 、B 及AB 正定，所以它们均为对称矩阵.
.
【答案】
所以
从而
所以
而
6． 设
为正定阵（因为
可逆）.
所以AB 的特征值全为正数，结合AB 对称知AB 正定.
是数域P 中互不相同的数，
是数域中任一组给定的数，用克
使
拉默法则证明:存在惟一的数域P 上的多项式
【答案】设数域P 上满足条件
将
代入
得
次多项式
看成
的线性方程组. 未知量与方程的个数都等于n , 其系数行列式为
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