2017年大连海洋大学生物学601高等数学Ⅰ之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
的泊松分布.
2． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】
3． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
即的后验分布为共轭先验分布.
4． 设随机变量
【答案】因为
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仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
中任意两个的相关系数都是p , 试证:
所以
由此得
5． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立.
6． 若事件A 与B 互不相容，且
证明：
【答案】
7 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE
，即
即
且
是其样本，
，证明：
是θ的充分统计量，则对
这说明，在均方误差准则下，人
的无偏估计，故其差
8． 设总体概率函数是p （x ; 0）, g （θ）的任一估计
令
们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
这说明
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，则这说明
是0的无偏估计，
由判断准则知
于是
因而
9． 若
【答案】因为
证明
：
所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得
结论得证.
10．设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
二、计算题
11．若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，
你认为他是否有诀窍？（取
）.
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题：
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，x 〜b （100，0.5）, 由于样本量相当大，检验统计量可取为
检验的p 值近似为
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在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1），故检验拒绝域
为