2016年南京大学天文与空间科学学院2601笔试(高等数学)复试笔试最后押题五套卷
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一、计算题
1． 根据导数的定义，求
的导数。
时，
2． 利用高斯公式计算曲面积分：
（1）
成的立体的表面的外侧；
（2）（3
）
的表面的外侧；
（4）
围成的立方体的全表面的外侧。
【答案】
，其中是平面
所
，其中为球面
的外侧；
，其
中
为上半球
体
，其中为平面
所围
【答案】由导数的定义知，当
3． 曲线
在点（2, 4, 5）处的切线对于x 轴的倾角是多少？
（2, 4）就是曲线在点（2, 4, 5）处的切线
，于是倾角
.
【答案】设z=f（x ，y ）. 按偏导数的几何意义，对于x 轴的斜率，而
4． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
，即
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
，所以
的最小值.
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
=y+1，所以
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
（2）因为令
①当t ＞2时，②当t ＜2时，所以t=2时，
，，有最小值
，所以
，计算得t=2，则：
在在=2+1=3
上单调递增； 上单调递减.
5． 研究下列函数的连续性，并画出函数的图形:
（1）（2）
【答案】（1）f （1）在[0, 1）及（1, 2]内连续，在x=1处，
，又
（2）f （x ）在处
函数的图形如图2所示。
与但
。
故f （x ）在x=1处连续，因此f （x ）在[0, 2]上连续，函数的图形如图1所示。
内连续，在x=-1处间断，但右连续，因为在x=-1
即
。