2016年兰州交通大学测绘与地理信息学院数学基础与计算几何之高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 求下列向量场A 沿闭曲线（从x 轴正向看依逆时针方向）的环流量：
（1）（2）
【答案】（1）的参数方程为
，为圆周（c 为常量）
，其中为圆周
；
。
t 从0变到2π，于是所求环流量为
（2）是xOy 面上的圆周
，
它的参数方程为（从z 轴正向看依逆时针方向）
t 从0变到2π，于是所求的环流量为
故得
2． 一金属棒长3m ，离棒左端xm 处的线密度的质量为全棒质量的一半。
【答案】[0, x]一段的质量为总质量为m （3）=2，
要满足
3． 设有界区域分
，求得
。
。问x 为何值时，[0，x]一段
由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为
.
整个表面的外侧，计算曲面积
【答案】所求积分满足高斯公式条件，
，所以
4． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
5． 求抛物线
【答案】由
的渐曲线方程。 , 及
, 知
故抛物线少=2Px的渐屈线方程为
其中y 为参数。或消去参数y 得渐屈线方程为
6． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得
将x=1, y=1, 得
（2
）令
代入上式。得
故所求特解为
则原方程化为
代入初始条件
得
代入初始条件（3）在方程于是
代入初始条件故有取
即
则且原方程化为一阶线性方程
即原方程的通解为
分离变量并积分
从而有
于是
得
有初始条件
即
得C 2=0.故所求特解为两端同乘以
得即
并因
则有
即
时，故上式开方后
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