2016年南京师范大学地理科学学院F113高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设函数
连续，且满足
在该方程两端对x 求导，得
即
可见若记
又在方程
则有初值问题
上述非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为特征方程的根，故令有通解
且有代入初始条件
有
解得
x
【答案】由所给方程可得
的两端对x 求导，得
而不是
于是方程（1）
是方程（1）的特解，代入方程并消去e ，得
即于是得
2． 设
其中
数
在
具有连续导数，
且
。
求函
，使沿平面内任一闭曲线C ，有
【答案】由条件知，曲线积分与积分路径无关，从而，故
对任意（x , y ）都成立，从而
且
齐次方程的通解为
。从而非齐次方程的通解为
任意常数，已知
3． 求函数
【答案】
在点
。故
的二阶泰勒公式。
。
。由②得
，
，由①得
为任意常数，
非齐次方程有一特解
为
于是
又
将以上各项代入二阶泰勒公式，便得
其中
4． 计算
（1）锥面（2）锥面【答案】（1）由面
在在
1上，2上，
2在
1和
，其中是：
及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面; 被平面z=0和z=3所截得的部分。
2组成，其中
1为平面
z=1上被圆周所围的部分；2为锥
xOy 面上的投影区域D xy 均为
。
1和
因此
（2）由题设，的方程为
，则
又由
和z=3消去z 得
，故在xOy 面上的投影区域D xy 为
，
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