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一、计算题

1． 设V （t

）是曲线

.

【答案】由旋转体体积公式可得

所以

故

2． 把函数

在（0, 4）上展开成余弦级数.

【答案】对f （x ）作周期为8的偶延拓, 得一连续偶函数, 故在（0, 4）上可将f （x ）展为余弦级数

.

又因为

所以

在

上的弧段绕x 轴旋转所得的体积, 试求常数c ,

使

所以由收敛定理, 在（0, 4）内.

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3

． 对于函数

（1）证明:（2）说明点【答案】（1）可求得

不存在； 不是

的可去间断点.

由于

（2）由上面（1）可知,

4

． 计算曲线积分

和点【答案】

5． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.

z , 则面积【答案】设三角形的三边分别为x , y ，此

不存在. 是

的跳跃间断点,

不是

其中

和

的可去间断点.

为连续函数; AMB 为连接点

的任何路线, 但与直线段AB 围成已知大小为S 的面积.

，且因

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其中因S 与

有相同的稳定点，考虑

解方程组

得

从而

又在D 的边界上的等边三角形, 面积

从而S 在

处取得最大值, 因而

面积最大的三角形为边长为

6． 计算线积分

【答案】如图所示

, 其中

ABC 为三点

A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣1, 0）连成的折线.

所以

图

二、证明题

7． 设

并且对于任何

, 则有

对上式两边同时求导, 得

即

于是对两边取转置又得

.

8．

在曲线y=x

3上取一点P ,

过P 的切线与该曲线交于Q

, 证明:曲线在Q 处的切线斜率正好是在P 处切线斜率的四倍.

【答案】设曲线切线方程为交点为

. 曲线上点P 坐标为

, 即

由由方程组

在Q 点的切线斜率

有常数, 证明

【答案】设

得该曲线过点P 的切线斜率

,

,

解出切线与曲线的