2018年南京理工大学理学院616数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
和
在
内可积, 证明:对
内任意分割
有
【答案】由积分的定义知
且
由于
可积, 所以
所以
所以原命题成立.
2． 设
在[0, 1]上连续, 求证:
【答案】分两种情况讨论.
（1）如果f （X ）在[0, 1]上不变号, 则
即要证的不等式成立.
如果f （x ）在[0, 1]上变号, 则存在又因为f （x ）在[0, 1]上连续, 存在
, 使得
使得
f
故有
即要证的不等式成立.
3． 设f 为[a, b]上二阶可导函数, 点
由同理, 存在又因为存在
在
使, 使得
使得
使
, 函数.
及
故f （x ）为I 上的凸函数.
必要性, 设f （x ）为I 上的凸函数, 则对任何的
及
有
为[0, 1]上的凸. , 有
得
.
. 于是有
, 并存在一点
使得
证明至少存在一
（用微积分基本定理）
【答案】因f （x ）在[a, c]上满足拉格朗日中值定理, 故存在
上可导, 由拉格朗日中值定理知,
4． 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何函数.
【答案】充分性, 设
为[0, 1]上的凸函数, 则对任何的
故为[0, 1]上的凸函数.
5． 证明定理及其推论.
【答案】用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体
设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于
上任一点, 在
上有
按下标j 与k 相加, 则有
及
由于f （x , y , z ）在V 上可积, 当上可积, 且
6． 证明数集
【答案】令数集两个聚点.
对任意
由或者有
得
,
取
且
.
总之
,
令, 则当
时, 或者有
.
有且只有1和-1两个聚点.
.
,
有且只有两个聚点
,
数列, 数列
和
, 则
都是各项互异的数列, 根据定义2, 1和-1是S 的时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a, b]
由定义知不是S 的聚点, 故数集
二、解答题
7． 求极限
.
【答案】用连续性定理来求解. 将离散变量n 改成连续变量, 即令
显然, f （x , y ）在
原极限=
8． 求
（a 为常数）.
时,
（2）当
时,
上连续, 由连续性定理, 有
【答案】（1）当