2018年东华理工大学理学院617数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[a, b]上三阶可导, 证明存在
, 使得
【答案】令则有使得
即
2． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在
【答案】设
则
, 于是有
由假设gU ）为单调函数, 故使得
3． 证明下列结论:
（1）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 关于x 对y —致连续, 则f （x , y ）在G 上连续; （2）若f （x , y）在某域G 上对x 连续, 对y 满足利普希茨条件, 即
, 其中y ）在G 上连续.
【答案】（1
）任取
, 由于f （x , y ）关于x 对变量y —致连续, 所以
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,
连续使用柯西中值定理,
,
, 使得
不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在
, 使得有
, L 为常数, 则f （x , y ）在G 上连续;
（3）若f （x , y ）在某域G 上分别对每一变量x 和y 连续, 并且对其中一个变量单调, 则f （x ,
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,
当所以取有
,
因此f （x , y ）在点（
2）任取当得
.
取
, 则当
连续. 由. , 当
时有
所以
f （x , y ）在点
在点y 0
连续
, 于是
x 连续, 所以
取但是
所以f （x , y ）在点
4． 证明以下数列发散:
（1）（2）（3）
的偶数项发散.
连续. 由
的任意性知f （x , y ）在G 上连续. 的任意性知f
（x , y ）在G 上连续.
, 由f （x , y ）对y 连续, 从而
时有
, 当
时有
. 又由
f （x ,
y ）
对时有
, 则当
,
（3）不妨设f （x , y ）关于y 单调. 任取
在点x 0连续, 故对上述的时有
连续
. 由
的任意性知f （x , y）在G 上连续.
,
时, 由利普希茨条件
. 取
,, 则当
, 由f （x ,
y 0）在点x 0. 连续, 所以
, 并使点
, 且
在点x 0连续, 从而对上述
时有,
, 当
时有
,
的邻域全部含在G 内, 则当
’.又f （x , y ）关于x 连续,
. 时,
【答案】（1）, 若一个数列收敛于a , 则它的任何子列也收敛于a , 数列组成的子列
数列
发散. （3）令
则
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收敛于1
, 而奇数项组成的子列
的第2k 项为
收敛于1, 从而
（2）收敛数列必有界. 而数列于是这个数列是无界的, 从而
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于是数列的两个子列的极限不相等,
故数列
存在. , 则有
发散.
5． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,
证明:
绝对收敛
存在且
.
【答案】:由于从而
故=>:因为导数定义有
当
绝对收敛时,
只能有绝对收敛.
绝对收敛, 所以
, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即. （否则
与
.
的敛散性相同, 矛盾）.
, 使
【答案】
记
,
则过三点
的抛物线为
令而
又
由
立即可得出结论.
, 则F （a ）=F（c ）=f（6）=0, 故存在
使
6
． 设
f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内二阶可导, 证明:
二、解答题
7． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛, 则求其值:
（1）（4）（7）
【答案】（1）
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共 28 页
; （2） （5） （8）
（3）
; （6）
; ;
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