2018年广州大学经济与统计学院612分析与代数之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
, 在原点的某邻域内连续, 且
, 而
所以
2． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为同时, 存在正整数当
时
. , 令
, 则使得当
时,
, 于是, 当n>N时,
由于M 的任意性, 故
（2）因为于是
, 所以对一切由（1）的结论得
即
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证明:
【答案】因为
, 证明:
.
, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当
,
时
.
, 存在正整数N , 使得当n>N时, . 即.
对于任给的
3． 设
, 存在正整数, 使得当时,
, 即, 所以
证明:f 在D 上连续, 但不一致连续.
【答案】显然, f 在D 上是连续的, 仅证f 在D 上不一致连续.
取当
无论及
时,
从而f （x , y ）在D 上不一致连续.
取得多么小,
当
取到某个, n 时,
总能使
二、解答题
4． 设
求证: （1）（2）
与
存在;
在（0, 0）点不连续;
; 同样因f （0, y ）=0, 得
.
（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微. 【答案】（1）因f （x , 0）=0, 所以（2）容易求出
令y=x,
故
在（0, 0）点不连续. 同理可知
在（0, 0）点不连续.
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（3）由于
’
按微分定义, 函数在（0, 0）点可微, 且
是有界变量, 当
或
时, x 是无穷小量, 所以
可见偏
导数连续是可微的充分条件, 不是必要条件.
5． 通过对积分区间作等分分割, 并取适当的点集算下列定积分:
（1）其分割为
, 取
为区间
（2）
（3
）
（
4）
, 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计
【答案】（1
）因在
[0, 1]上连续, 所以f （x ）在
[0,
1]上可积. 对[0,
1]进行
n 等分, 记
的右端点,
得
（2
）同（1）, 有
（3）由
.
则
在
上连续知,
f （
x ）在[a, b]上可积, 对[a, b]进行n
等分,
记其分割为
, 取为区间
的右端点,
得
（4）同（3）, 取
, 得
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