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一、证明题

1． 设f 为

试证明:当

取最小值, 且最小值为

上述

是三角多项式,

为它的傅里叶系数.

其中

所以

由上式可得,

当且仅当且最小值为

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上可积函数. 为f 的傅里叶系数, 1时, 积分

【答案】依题意

时积分取最小值,

2． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在点x=0连续, 且对在则f （x ）

在则f

（x ）在【答案】（1）由由f （x ）在x=0处连续, 所以

故f （x ）在点

连续, 从而f （x ）在

, 于是对

令同理由（3）由

即f （X ）定号, 从而可知对

续, 利用（1）的结论知

3． 设

【答案】由保不等式性知

时,

于是,

故当

即当时

时, 原命题是成立的. 当

于是

由的任意性知

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满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）, 则f （x ）

满足f （x+y）=f（x ）+f（y ）,

上连续;

（2）设f （x ）在

上连续;

, 且对

满足f （x+y）=f（x ）f （y ）,

上单调, 且对

（3）设f （x ）在点x=0连续,

上连续.

, 取x=y=0得f （0）=0.对

, 又

上连续. 上单调, 所以

有

,

令得

对

得B=A+B, 即, 因为

, 于是都成立.

,

由已知得

上连续, 从而f （x ）在

其中

如果

为正整数. 那么, 对任给的

两边取对数得在证明

和

当时,

（2）易知f （0）=0.因为f （x ）在都存在, 设

得A=A+B,

即

. 从而

上连续.

, 且f （X ）与f （-X ）同号,

在x=0处连上连续.

, 所以f （0）=l.对

在x=0处连续, 由（1）的结论知f （X ）在

, 存在

使得当

时, 对任给的, 存在

4． 给定两正数与

证明:【答案】由又因为因此

,

于是

5． 证明:函数

所以

为单调递减,

即

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

与等比中项

因而

一般的令

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

（a 、b 为常数）满足热传导方程:

【答案】因为

所以

6． 设

并求J （2m , 2n ）. 【答案】

移项解得

. 同理

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即都是有界的. 根据两边取极限,

得

单调有界定理

知的极限都存在.

设

（m , n 为正整数）, 证明:

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