2018年甘肃农业大学园艺学院712高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1．
己知
A.-18 B.-36 C.64 D.-96
【答案】B 【解析】
利用性质
可以有
2． 设A 为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是（ ）。
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】AB 两项，由于A
为正交矩阵交矩阵.
C 项，由于A 为正交矩阵
，D 项
，
3． 设A 为四阶方阵，
且满足
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】由
于
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都是3维列向量，且行列式
那么
（ ）。
用定义，
容易验证
故所以
.
又
也为正交矩阵.
与均为正
，从而
时，kA 不是正交矩阵.
当则秩
时，kA 为正交矩阵
，
秩
（ ）。
故
从而
又
故
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4． 设那么（
）。
【答案】B
【解析】P
、Q 均为初等矩阵，因为么
又那么
且P 左乘A 相当于互换矩阵A
的1，3两行，那
右乘
A 相当于把矩阵A 的第2列加至第1列，
表示将A 的1，3两行互换2012次，从而
且
而
表示把矩阵A 第2列的2011倍加至第1列，所以B 选项正确.
则下列命题中
正确的命题共有（
）。
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A
【解析】由于矩阵A 可逆，有因为
故存在可逆矩阵P 使
按相似定义知命题（2）（3）（4）均正确.
那么
按相似定义知
即命题（1）正确.
5． 已知
A 是
n 阶可逆矩阵，若
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6． 设 则多项式f （x ）的x
的可能的最高方次是（
）。
A.1
B.2 C.3 D.4
【答案】
A
【解析】将f （x ）的第1行的-1倍加到第2, 3, 4行，然后按第1行展开，得
若
则f （x ）是常数，若
则/（X ）是一次多项式. （
）。
7． 已知A 是三阶矩阵，r （
A ）
=1,
则
A. 必是
A 的二重特征值
B. 至少是A 的二重特征值 C.
至多是
A 的二重特征值
D. —重、二重、三重特征值都有可能 【答案】B
【解析】矩阵A 对应特征值的线性无关的特征向量的个数特征值的重数.
即
特征值
，也可能三重. 例
必有两个线性无关特征向量.
故
但
的重数
即
至少是二重
是三重特征值
.
二、填空题
8．
设n 阶矩阵a 的各行元素之和均为零，且A 的秩为
【答案】【解析】由的各行元素之和为0, 知
知方程组
为
的基础解系只含有的非零解，则方程组.
个解向量. 又矩阵A
的通解为.
则线性方程组
的通解为_____.
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