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一、计算题

1．

设

线性无关. 【答案】先把向量组

由向量组

线性表示的关系式写成矩阵形式：

因detK=l，故K 是可逆阵，由矩阵秩的性质，知又

因

线性无关.

2． 设A 为n 阶

矩阵，

为A 的伴随矩阵. 证明

【答案】（1）当R （A ）时，（2）当即

（3）当R （A ）=n-1时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个n-1阶子式不为零，也即少有一个元素不为零，故

由矩阵秩的性质得

把R （A ）=n-1代入上式，得 3． 已知

是矩阵

的一个特征向量

知，

综合以上两个关于

的不等式，便有

另一方面，因R （A ）=n-1，有|A|=0.

由

中至

. 得

，从而

的任一元素均为零，

线性无关，

知

，从而

有

则向量

组

，

，

且向量组

线性无关，

证明向量组

时，由矩阵秩的定义知，A 的所有，n-1阶子式即

（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是A , 则由题设，

即

于是，得到以

为未知数的线性方程组：

（2）A 不能相似于对角阵. 理由是：

当

故

是A 的三重特征值. 但

没有3个线性无关的解. 于是，矩阵A 对应于特征值阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵. 4．

设

求3AB-2A 及

时. 容易求得矩阵A 的特

征多项式

从而

故齐次方程

没有3个线性无关的特征向量. 由方

【答案】于是

因即A 为对称阵，故

5． 设A , B 都是

矩阵，证明A 〜B 的充要条件是R （A ）=R（B ）.

【答案】必要性即课本结论，故只需证明充分性. 设R （A ）=R（B ）=r，那么矩阵A ，B 有相同的标准形

于是A 〜F ，B 〜F ，从而由等价关系的对称性和传递性，知A 〜B.

6． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：

（1）（2）（3）

【答案】⑴由于f

中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得

令

即

写成矩阵形式：x=Cy，这里

为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：

（2）由于f 中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得

令

即

写成矩阵形式：x=Cy，这里

为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：

（3）由于f （x ）中含变量xl 的平方项，故把含xl 的项归并起来，配方可得

令

即