当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是当

时，由秩

知

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。

2．

设二次型

（1）证明二次型f

对应的矩阵为（2

）若

【答案】（1）由题意知，

记

正交且均为单位向量，证明f

在正交变换下的标准形为

故二次型/

对应的矩阵为（2）证明：

设则

而矩阵A

的秩

故f

在正交变换下的标准形为

构

3． 求个齐次线件JTP

技使它的场础解系由下列向量成.

【答案】由题意，

设所求的方程组为

由这两个方程组知，

所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为

4． 设A

为

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

有

有惟一解知

则方程组

. 即

即

可逆.

故所求的方程组可取为有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有非零解，这与

有非零解，即存在

解得此方程组

将

代入得，

，由于

所以

为矩阵对应特征值所以

为矩阵对应特征值

所以

的特征向量；

的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；

矩阵

且为可逆矩阵，

且方程组

二、计算题

5．

设

线性无关

，

线性相关, 求向量B 用

线性表示的表示式.

使

【答案】

方法一、因

线性相关，

故存在不全为零的常数

，不然，由上式得

，这与

不全为零矛盾. 于是得

因线性无关，

故

专注考研专业课13

年，提供海量考研优质文档！

方法二、因关.

又因

线性无关，故

线性相关，故

，于是存在使

6．

在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村

. 假设该国总人数不变，且上述人迁移的规律也不变.

把n

年后农村人和城镇人占总人

的比例依次记为和

（1）求关系式

中的矩阵A ;

求

线性相关，

即

线性相

（

2）设目前农村人口与城镇人口相等

，【答案】（1）这是一个应用问题.

关系式可看做是向量

的递推关系式，

从而有

即把应用问题归结为求

A 的

遵循这一思路，先求

A. 由题设，

有

故

的特征向量为

其中，

因此

再求A 的特征值和特征向量. 易求得

A

的特征值对应于令

的特征向量为则P

可逆，且

7． 在

中求向量

在基

对应于

下的坐标.

下的坐标就是a 由向量组

【答案】由定义，向量在基线性表示式中对应的