2018年山西农业大学动物科技学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
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【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
故A
有零特征值
的非零解即为对应的特征
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
3． 设二次
型
则即A
相似于矩阵
矩阵A 满足AB=0, 其
中
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
有
进而
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又
所以由
于是
得
令
4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设【答案】
（Ⅰ）由
同特征值的特征向量
，故
又令即由
求
是3维非零列向量，
若
线性无关
；
且
线性无关.
非零可知，是A 的个
线性无关
，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为,
所以
即
故
二、计算题
5． 设
问k 为何值，可使（1）R （
A ）=1; （2）R （A ）=2
; （3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时，
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
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