2018年山西农业大学农学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
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2． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，
可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3．
设三阶方阵
A 、B 满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵. 若
求行列
知
的基础解系
，
即为
的特征向量
【答案】由矩阵知则. 可
逆. 又故即
所以即而
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故 4
． 已知
，
求
【答案】
令则且有1
所以
二、计算题
5． 用配方法化下列二次型成规范形
，并写出所用变换的矩阵
：
（1）
（2）（3）
令
即
【答案】⑴由于f 中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
写成矩阵形式：x=Cy，这里