2018年北京市培养单位空间科学与应用研究中心807材料力学考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 图a 所示钢环的平均直径d=22cm，其横截面为高h=2cm，宽b=4cm的矩形，重物F=50N， 从2cm 高处沿环的直径方向铅直下落撞击钢环。设重物的表面为非弹性，一旦与钢环接触即永远接触，不计钢环自重，只考虑弯曲变形。已知钢环弹性模量E=210GPa，试导出撞击钢环时环内最大弯矩的表达式，并计算环内最大正应力。
图
【答案】（l ）求静载时环内最大弯矩：
由于对称缘故，沿水平直径方向把圆环切开，如图 （b ）所示，截面上有轴向力为零，弯矩
未知，故为一次静不定。取1/4圆环计算，如图 （c ）所示。
用莫尔定理计算上式各系数。因载荷、单位力
作用下的弯矩分别为
根据B 截面转角为零，有正则方程
，剪力
为多余约束力。
于是用莫尔定理可得:
由代入式（1）得
任意截面上的弯矩，由叠加原理得
即：
显然，圆环中最大弯矩发生在C ，D 截面上，即当
时，最大弯矩值为
（2）求环内最大正应力。为了确定动荷系数，须求出C 点处的静变形△st ，为此，在C 点作用单位力，列出其弯矩方程
。实际上，应用（2）式，且令F=1，得
于是由莫尔定理得：
于是可得:自由下落物体的动荷因数为：
又静荷下最大正应力为
动荷下最大正应力为
2． 薄壁圆环的半径为R ，沿直径方向作用有一对拉力F ，如图1. 圆环壁的抗弯刚度为EI 。试求圆环内任意截面上的弯矩，并求圆环沿拉力F 方向的变形和与F 力垂直方向（CD ）的径向变形.
图1
【答案】（l ）环内任意截面上的弯矩
由于圆环结构和载荷的完全对称性，沿直径CD 将圆环截开为两部分，取上半部分来分析，见图解2。
图解2
截面C-D 上分布有轴力、剪力及弯矩3个内力分量，由于载荷及几何形状均对称，可知
，
故只有
，根据平衡方程式
为未知反力，如图解2（b ）。根据圆环受力与变形情况的对称性，可知圆环在
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