2017年华东理工大学理学院817高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 3． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
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【答案】B 【解析】
则线性方程组（ ）•
=（ ）.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 则A 与B （ ）. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 使 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 第 3 页，共 40 页 6． 设a ，b 是两个复数，令 那么【答案】是映射. 若 是 单射. 显然 且记 令 故是满射，从而是双射 . 因为 所以 是同构映射， 是V 的子空间，且 问【答案】设易知于是 注意到若这与 8． 证明：以下两个变换都是的线性变换： 再求T+S, TS与ST. 【答案】T , S都是的变换显然. 再由于 故T 是 的一个线性变换. 第 4 页，共 40 页 都是的子空间，证明： 故 设 则 于是 那么 故 7． 设V 为线性空间，dimV=n， 则存在V 的子空间 时，上述结论是否成立？ 是 的基 将其扩充成V 的基 设 令 因而a=0，胡 则结论不成立. 若结论成立，由维数公式 是V 的子空间矛盾.