2017年大连大学信息工程学院716数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设a 为有理数，x 为无理数. 证明：
(1) a+x是无理数；(2) 当盾. 故a+x是无理数.
(2) 用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数，所以无理数矛盾. 故ax 是无理数.
2． 设证明：
(1
) (2) 若
【答案】(1) 因为
则
所以
又因为(2) 因
为
于是
因为
3． 设
在
所以
上可积，且在点
处连续. 设
证明
【答案】因
为
又因为
在
在
上可积，所
以
当
因此，欲证结论成立，只需证
为此，将积分分为三段进行估计：
在
上有界，设界
为
时，有
即
所以对
于
所以
即
是有理数. 这与x 是
时，ax 是无理数.
也是有理数. 这与x 是无理数矛
【答案】(1) 用反证法. 假设a+x是有理数，那么
存在N ，使得当n>N时
，
处连续，所以
通过计算易知
而
综上可知，原结论成立. 4． 设
【答案】
由题设
于是原命题得证.
可知
证明
介于1与之间.
二、解答题
5． 求下列极限：
【答案】(1)
在区域
上连续. 因此
(2
)
在区域
上连续，因此
6． 用比式判别法或根式判别法鉴定下列级数的敛散性：
(1
) (3
) (5
) (7
) (2)
因
(2)
(4) (6) (其中
且
所以原级数发散.
). 故
所以原级数发散.
【答案】(1) 因
(3)
因(4)
因(5)
因(6)
因
所以原级数发散. (7
)
7． 研究函数
故
所以原级数收敛.
故
，故原级数收敛.
，故
时原级数发散，
所以原级数收敛.
时原级数收敛.
的连续性，其中f (x ) 在闭区间[0, 1]上是正的连续函数。 【答案】当
时被积函数是连续的，因此F (y ) 为连续函数。当y=0时有F (0) =0。设m 为f (x )
于是当
时，
而
所以F (y ) 在点y=0不连续。
8． 求下列不定积分：
【答案】⑴（2）
（3）原式:
9． 设f (x ) 为可微函数
，算
并求
在
处的值.
则
在[0，1]上的最小值，则
并有方程试对以下两种形式分别计
(1) 由方程确定的隐函数(2) 由方程确定的隐函数
【答案】令
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