2018年云南师范大学数学学院719高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵A. B. C. D. 【答案】C 【解析】若当
时，
由
，用
使
则（ ）.
右乘两边，可得
由
左乘
这与可得
矛盾，从而否定B , D. 矛盾，从而否定A ，
故选C.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
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【答案】C 【解析】而
. 则
也不是线性变换，比如给
,
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
4． 设A 、B 为满足
,
故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B
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则分块矩阵
【解析】由题设可逆，由于
且
所以
二、分析计算题
6． 设
求
【答案】由A 的特征多项式
故故
由
于是
7． 在几何空间中，取正交坐标系以表示绕证明:
并检验
【答案】取任意向量
是否成立.
，则
于是有
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是A 的零化多项式. 作带余除法，得
. 以表示将空间绕
表示绕
轴由轴由
向向
方向旋转90°的变换，方向旋转90°的变换.
轴由向方向旋转90°的变换，以