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一、证明题

1． 证明:线性空间

可以与它的真子空间同构. 证明令

【答案】易知W 是

的真子空间. 令

直接验证可知是同构映射, 故

与真子空间W 同构.

同构的线性空间可以看成一样的, 利用同构映射可以巧妙地处理一些问题

2． 证明：非零实二次型f 可分解成两个实系数一次齐式相乘差是0.

【答案】设若

与

成比例，设

则可对f 施行以下满秩线性代换

的秩是1或f 的秩是2且符号

化成

若

由于

与.

故因此，此时f 的秩是1.

不成比例，不妨设

与

不成比例，

从而

则此时可对f 连续施行以下两个满秩线性代换

得故此时f 的秩为2且符号差为0.

或

由于

是

的线性组合，故可知f 可分解为两个实系数一次齐式相乘.

反之，若f 的秩为1，则f 可通过实满秩线性代换X=PY化为正规形若f 的秩为2且符号差为0, 则f 可通过实满秩线性代换X=CY化为

但由

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知，与都是的线性组合，

从而可知f 是的两个一次齐式之积.

3． 证明：实二次型

【答案】

是半正定的充要条件是则.f 可经过实满秩线性代换

由

得

化为

即有相应不全为0

的实数

从而对任一组不全为0

的实数

使

因此，f 是半正定的.

反之，设f 为半正定的，则f 的负惯性指数必为零. 否则f 可经过实满秩线性代换其中由

于是当取

而其余

时，

代入（3）得

这与f 是半正定二次型矛盾. 因此，f 的负惯性指数必为零，即

4． 证明:秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

【答案】设A 是一个秩为r 的n 级对称矩阵，则有可逆矩阵C 使

化为

（3）

所得相应的不全为0

的实数

其中1的个数等于A 的秩. 用则

表示对角线上第i 个元素为1，其余地方都为0的n 级矩阵，

因为因此

5． 设方阵

①

可逆

，可逆且的秩等于1，而

为可逆矩阵，所以上式中的

的秩等于1, 而且

是对称矩阵. 因此A 可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和.

证明：

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②

【答案】①由

即得.

②由上可知：

6． 设A 为n 阶方阵. 证明：

【答案】证法1

齐次线性方程组

的任一解，

即

用左乘上式，得再用

乘上式，又得

则必

于是

如此下去，即得

这说明n+1个n

元（列）向量A

n+1

的解显然是

因若

且

的解反之，

设

设

是

线性无关，矛盾. 因此必即A X=0与

n

X=0同解.

n+1n+2

同理可证A X=0, AX=0, 同解. 于是由上题知（3）成立.

证法2因为A 是n 阶方阵，故

其中

为n 阶单位方阵。因此存在

k

k+1

使

于是由上题知，A X=0与A X=0同解. 又显然A

k

k+1

X=0的解是A

k+2

X=0的解. 反之，设A X 1=0，则AX 1便是A

k

k+1

k+2k+1

X=0的解，从而

由上知也是A X=0的解，即A X 1=A（AX 1）=0.因此，A

k+1

k k+1

X=0与A

k+2

X=0同解. 如此下去，即

知A X=0，A X=0都同解. 再由上题即得（3）.

7． 设V 是n 维线性空间证明:V 的r 维子空间有无穷多个, 其中

【答案】设先证则由次证则由

线性无关, 则

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是V 的基, 令只要证

' 线性无关. 事实上, 若

线性无关, 则有无穷多个, 只要证:若

则

故

不然, 则

线性无关.

设

于是

矛盾.