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一、证明题

1． 证明

【答案】分部积分, 有

*

二、解答题

2． 应用高斯公式计算三重积分

,

其中V 是由【答案】

3． 过直线

【答案】设

作曲面切点坐标为

曲面在点P 0的法向量为

, 又过直线T 的平面方程为

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与所确定的空间区域.

的切平面, 求此切平面的方程. , 则

即

其法向量为

, 于是有

解之得

或

故所求的切平面方程为

_ 或

4．

求下列不定积分:

（1）由于

在

（

2）

时

,

上连续, 故其原函数必在

, 当

即

,

因此

, 所以

（2）当当. 由于

在

时

, 时,

上连续,

故其原函数必在

上连续可微.

因此,

即

, 因此

. 所以

5． 求极限

【答案】方法一:令

, 则有

当

时,

故有

时,

连续可微. 因此

【答案】（1）当

:

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因此方法二:当

时,

是无穷小量.

由此即得

6． 为了使曲线积分

与积分路线无关, 可微函数F （x , y ）应满足怎样的条件?

7． 设

f （

x ）在区间[0, 1]上二阶可导且满足收敛域.

【答案】由

及

f （x ）在点

x=0连续、可导知

由此可知, 当n 充分大时有大时有

即

由此可知

即级数为[-1, 1].

8． 试讨论方程组

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.

【答案】这里P=yF （x , y ）, Q=xF （x , y）则该积分与路线无关

和. 令, 求的

, 于是

且与有相同的敛散性, 从而收敛. 又当n 充分

的收敛半径R=1, 当时与都收敛, 故原级数的收敛域