2017年南昌大学理学院814高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列反三角函数值的近似值:
【答案】（1）由及取
得
（2）由及取
得
2． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
3． 求曲线
将己知点的坐
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
.
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
4． 说明下列旋转曲面是怎样形成的：
【答案】
的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆
表示xOy 面上的双曲线
面，或表示yOz 面上的双曲线
表示xOy 面上的椭圆绕x 轴旋转一周而生成
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲
绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面
.
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲
表示xOy 面上双曲线
面，或表示xOz 面上双曲线
绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面
表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋
转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面.
5． 问函数在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
, 得驻点
（舍去）,
, 比较
得函数在处取得最大值, 且最大值为
6． 求函数数。
在点处沿从点到点的方向的方向函
【答案】按题意，方向又
故
二、证明题
7． 设
, 且
, 证明
【答案】（1）
其中由上一题（2）
其中由上一题（3）
相关内容
相关标签