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一、证明题

1． 证明:（1） f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点

（2） f 为严格凸函数的充要条件是【答案】

因为

2． 举例说明:瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛.

, 故瑕积分

故瑕积分

3． 设函数f 在连续. 且有

若若综上, 存在

, 则

, 使得, 则取

或

, 即有

.

使得

, 即

. 由根的存在性定理知, 存在

.

发散 上连续, 且

. 证明:存在点. 由f （x ）在

, 使得上连续可知F （x ）在

. 上也

收敛, 但

, 所以

, f 为严格凸函数的充要条件是

.

由此可知, f 为凸函数的充要条件是

.

, 恒有

【答案】作辅助函数

二、解答题

4． 设

求:（1）（2）（3）【答案】

同理（1）将（2）（3）由于

5． （1）设

在

上可导. 若存在

代入可得

, 所以

使

（2）设

在

上可导, 设存在

设

【答案】[1]存在

证明:存在使得

.

使

使

.

[2]方法一 反证法:假设结论不真. 则对所有不妨设对一切当n 充分大时, 若有令

必有

都有

则有或者

则

上严格单调递增.

对上述不等式取极限, 则得

这与条件矛盾； 同理对所有若下设

因为

的数

存在

不恒等于

都有, 则存在

时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立. 则使得

类似可证）

函数

使得

方法二 ①当为有限数时, 若

（对

结论自然成立；

在

内连续, 所以对任意取定

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从而由Rolle 定理知, 存在若②当（x ）在

③当设

在

时,

处取到最大值, 则有

, 必有在

时,

处取到最小值, 则有

, 则

任取一点作

使得

上面的推理仍然正确. 易知 易知

在

内可取到最大值,

在

内可取到最小值, 设f

（2）由于对所有

由导函数的介值定理, 对所有故有所以

在

上严格单调递增, 或

都存在；

或者

上严格单调递减.

下用反证法证明结论成立, 假设结论不真, 令令若对一切当n 充分大时, 有令

则对任意

则有对所有都有.

有

对上述不等式取极限, 则得

这与条件矛盾； 同理对所有即存在

6． 试作一函数

使得

都有

时, 亦可得出矛盾, 所以假设不成立, 故原结论成立, 则均有

于是

必有在.

或者

.

.

上严格单调递增,

使当时,

（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足