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一、计算题

1． 图所示单摆, 摆长为1, 小球质量为m , 其悬挂点以加速度向上运动. 试选择单摆的摆角为广义坐标建立系统的运动微分方程, 并求单摆作微振动的周期

.

图

【答案】建立与挂点固定的坐标系, 如图所示.

单摆相对于挂点作摆动,

以摆角为广义坐标系,

参照物为挂点

系统在新参考系下的广义力和系统的动能为:

代入拉格朗日方程

可得:

根据单摆的周期公式可得:

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加速度为则

2． 图示质量弹簧系统，物体A , B 和C 的质量分别为2m , m 与m , A 和B 之间用不可伸长的绳子通过光滑的滑轮相连结，B 和C 之间用弹簧相连接. 弹簧原长为a ，弹性系数物块的运动都是简谐运动，并求出振动周期，绳中张力和弹簧中的张力

.

先用一手托

住A , 另一手托住C , 且使弹簧维持原长，现两手同时放开，如不计绳和弹簧的质量，求证以后三

图

【答案】设松开手后某一时刻B 下降了

C 下降了

A 上升了

A 和B 的加速度大小为:

C 的加速度为:

式①②联立可得:

积分并利用初条件:

可得

将其代入方程①②可得:

这是简谐振动的方程，三物体均做简谐振动. 其周期为:

设绳子拉力为

如图（b ）所示，对物块A 使用牛顿定律有:

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由⑥式有:

设

为

其中固有频率

由式④、⑤的初条件可得:

显然，振动时

不防取

的最小可能正值，由式⑩可得:

代入式⑩中可得:

又由式⑥可得:

推出

从而有:

把

代入式⑨可得:

设弹簧拉力为

对物体C 使用牛顿定律:

利用式③，⑧有:

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