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一、计算题

1． 图所示直角三角块A 可以沿光滑水平面滑动. 三角块的光滑斜面上放置一个均质圆柱B , 其上绕有不可伸长的绳索, 绳索通过滑轮C 悬挂一质量为m 的物块D , 可沿三角块的铅直光滑槽运动. 已知圆柱B 的质量为2m , 三角块A 的质量为3m , 小和质量略去不计. 试确定系统中各物体的运动方程

.

. 设开始时系统处于静止状态, 滑轮C 的大

图

【答案】系统具有三个自由度, 选取x 、y 、为广义坐标 系统势能为:

取B 为动点, 三角块A 为动系. 由速度合成定理得

其中, 由余弦定理得:

D 点速度:

因此得系统动能为:

将拉格朗日函数L=T-V代入拉格朗日方程

化简得到:

解得:

对上式积分得到运动方程为:

2． 图所示两个弹簧的刚度系数分别为的周期

.

物块质量m=4kg.求物体自由振动

图

【答案】两个弹簧串联, 等效刚度系数为:

取坐标原点为平衡位置处, 设在重力作用下变形量为, 则设垂直向下为正向, 则可得物块运动微分方程:

联立以上各式得:

令

上式可化简为:

则

为振动固有频率, 自由振动周期为:

代入数值解得:解得:

（c ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

（d ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

3． 在图1所示结构中，各构件的自重略去不计，在构件BC 上作用一力偶矩为M 的力偶，各尺寸如图。求支座A 的约束力。

（b ）斜面倾角与运动方程无关, 弹簧串联,

图1

【答案】（1）以曲杆BC 为研究对象，受力如图2（a ）所示。 由平衡方程