2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研基础五套测试题
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2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研基础五套测试题（一）.... 2 2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研基础五套测试题（二）.... 7 2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研基础五套测试题（三）.. 13 2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研基础五套测试题（四）.. 17 2018年华东师范大学理工学院数学系626数学分析之数学分析考研基础五套测试题（五）.. 21
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一、证明下列各题
1． 证明
【答案】分部积分, 有
*
2． 证明:若n
,
为递增数列, 又因为
也有上界. 设正数综上所述, 得
是
为递减数列, 且可知, 数
列为递减数列, 所以的一个上界. 由
则
与
都存在且相等.
有上界,
因而数列
【答案】
由是有界数列, 设正数M , 使得对一切
于是, 数列可得
都存在. 再由
都是单调有界的, 所以
3． 设u （x , y ）, v （X , y ）是具有二阶连续偏导数的函数, 证明:
（1）（2）其
中
D
为
光
滑
曲
线
L
,
是u （x , y ）, v （x , y ）沿曲线L 的外法线n 的方向导数. 【答案】在格林公式中, 以P 代替Q , ﹣Q 代替P 得
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所
围
的
平
面
区
域
,
而
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其中
n 是L 的外法线方向
. （1）在（a ）中令
’
则得
即
（2）在（a ）中, 令
则得
即
（c ）式减（b ）式得
4． 设
是区间
I 上有界且一致连续的函数, 求证
:
在区间Ⅰ上有界, 则存在的一致连续性得到, 对于任意
使得存在
使得当
从而
所以
在区间Ⅰ上一致连续.
, 则当f
在I
上一致连续.
时, 有
【答案】由于再由
5． 设f 、g 均为定义在[a, b]上的有界函数. 证明:若仅在[a, b]中有限个点处
在[a
, b]上可积时, g 在[a, b]上也可积, 且
【答案】设f （x ）与g （x ）在[a, b]上的值仅在k 个点
处不同, 记
, 使当
f x ）, 由于（在[a, b]上可积. 存在
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时, 有, 则当时, 有
当时
, , 所以上式中至多仅有k 项不为0, 故
这就证明
g （
X ）在
[a, b]可积, 且
6． 举例说明:若级数
对每个固定的p 满足条件
.
此级数仍可能不收敛. 【答案】
如级数
，
若p
为某一个固定的数，
则
但级数
发散.
二、求解下列各题
7． 设
【答案】
8． 求下列函数的极值:
【答案】（1
）由当由当
得时, 时,
, 而
得x=
－l ,
0,
1.把f
（x
）的定义域分为四段:
, , 均不属于. 由
得
. , 舍去
,
, 故
, 试按h , k , 1的正数幕展开
是f （x ）的极大值点.
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