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一、计算题

1． 求不定积分

【答案】注意到

设

, 由（1）式, 则有

由此解得

2． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为所以

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及

3． 设

求:（1）（2）（3）【答案】

同理（1）将（2）（3）由于

4． 设

（i ）在（ii

）在试证明【答案】先证明条件（ii ）, 存在因此, 当令不妨设下面证明对于

当

因为

且 y 与y 0充分接近时, 可使

再将y 固定, 由条件（i ）, 存在

因此

5． 试作一函数

即

使当

当所以

时,

时, 有

由条件（i ）得

利用（ii ）及前面的结论,

存在. 当时, 且

时, 且

有

, 根据柯西准则, 可证

存在.

就有

在点

的某邻域

1上, 对每个代入可得

, 所以

上有定义, 且满足: . , 存在极限

都有

（即对任意

成立）.

存在

当

.

上, 关于x

一致地存在极限

时, 对所有x , 只要

（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在；

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（3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足

因为

故（2）函数同理

不存在，

满足

也不存在. 但是

（3）函数因为在（4）函数

6． 求下列积分

（1）（2）（3）【答案】⑴由M 判别法知

在[a, b]内一致收敛. 所以

（2）, p=l, a=0, b=x得

（3）因为

, 所以x=0不是函数

在

因此含参量非正常积分

故由（2）的结论有

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不存在.

满足当满足

时，重极限和两个累次极限都不存在，

不存在但是

时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.

（提示:可利用公式）；

的瑕点,

上一致收敛,