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一、证明题

1． 若

【答案】由

试证：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

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3． 设是来自正态分布的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

5． 设数为

是来自均匀分布

其中

, 所以由

诸

的相互独立性

得

特征函数为

4． 设随机变量

独立同分布, 且

的特征函数, 由唯一性定理知

的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函是两个己知的常数.

（1）验证：帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】（1）同时成立，必须

与

的联合分布为

所以的后验分布为

要使

与

这是一个参数为

与

的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.

（2）若选用后验期望估计，则

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6． 设连续随机变量

独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

从而该事件的概率为

若记诸

的分布函数为

则上式积分可化为

7． 设

是来自泊松分布

的一个样本.

在显著性水平为时给出其拒绝域；

（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；

（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1）泊松分布

的充分统计量是，它是的无偏估计. 若原假设

成立，

则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定

或

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调

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的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

故

若令泊松分布

的

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时，该检验的拒绝域为