2017年淮北师范大学实变函数、概率论与数理统计(同等学力加试)之概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率.
【答案】两个球颜色相同有两种情况：全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得
2． 自由度为2的
分布的密度函数为
时，
。试求出其分布函数及分位数
当
I 时，
【答案】此分布的分布函数F （x ）为：当所此分布的p 分位
数
满足
：从中解
得
。由此
得
3． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85, 现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为的置信区间.
【答案】这是方差已知时正态均值的区间估计问题.
由题设条件
于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为
即这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为[1.9168, 2.5832].
4． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）, 具体数据如下：
表
，
查表知
，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95
试用成对数据处理方法比较两种测定方法是否有显著差异，请写出检验的P 值和结论（取
）
【答案】一个水样用两种方法测定，测量数据是成对数据，其差侧，诸在的样本均值与样本标准差
现在要检验的假设为
分别可算得：
列在上表数据的右
使用的检验统计量及其值如下
对给定的显著性水平由于
其拒绝域为查表知
故应拒绝原假设即两种测定污水中氯气含量的方法间有显著差
别，检验的p 值为0.0082.
5． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下：
表
1
试在显著性水平
下检验这批数据是否服从泊松分布.
【答案】本题与上题完全类似，仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为：
未知参数采用最大似然估计得：
将代入可以估计出诸
于是可计算出检验核计量
表
2
如下表：
若
取此处检验的p 值为
查表
知故拒绝域
为
由
于
故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为这批数据服从泊松分布.
6． 盒中有n 个不同的球, 其上分别写有数字1, 2, •••, 再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.
每次随机抽出一个, 记下其号码, 放回去
【答案】记X 为抽球次数, 则X 的可能取值是2, 3, ….且有
又记得
7． 设随机变量X 满足
【答案】由，
已知
及题设条件
得
从中解得
8． m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m-1个人中的任何一个. 求第n 次传球时仍由甲传出的概率.
【答案】设事件
为“第i 次传球时由甲传出”，记
所以由全概率公式
得递推公式
将P 1=1代入以上递推公式可得
特别，当譬如m=5， 则
最
后
时，有
则
且
试求
则y=X-1服从参数为p 的几何分布, 因此
由此
二、证明题