2018年南开大学数学科学学院718数学分析高等代数之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
若选, ，从而否定C ,
故选B.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设
又
②
③
与
为空间的两组基, 且
①
则A=（ ）.
则（ ）.
A.
B. C.
D.B = A
【答案】C 【解析】令
将①代入④得
即
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 5． 设
阶方阵，且秩
秩则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩从而可由
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
线性表出.
线性相关，故选D.
由②有
④
故.
秩A , 则线性方程组（ ）.
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
）交于一点的充要条件是（ ）
线性相关 线性无关
线性无关
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
二、分析计算题
6． 设A 是数域P 上的, 2阶幂等矩阵（即, 证明:
【答案】
因为
所以
则
那么
故
于是
于是
7． 用非退化线性替换把二次型
化成标准形（写出此线性替换）. 【答案】用配方法可得
令
即作非退化线性替换
故
,
则
. ）,
分别是
与
的解空间,
可得标准形为
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