2018年石家庄铁道大学数理系601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f （x ）在区间
【答案】
记贝
!J
.
,
故
, 有, 使
故
2． 证明:
, 即
在
上一致连续.
, 因为
上一致连续.
, 有
, 可取, 且. 设
.
就有
上一致连续. 综上, f （x ）在
, 设
, 则有
由故
在
得
取
则当
, 并且
上一致连续.
上的函数f （x ）在x=0附近有界, 且对
. 证明:
.
, 而b>1知f （0）=0, 故只需证明
可推得
及
, 当
时,
有
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上有界, 则
若M=m, 则f （x ）为常数, 等式显然成立. 设m 另一方面 由上、下确界的 定义知, 分别存在 从而由上界确定义知 【答案】（1）证法一 :致连续定理知, f （x ）在 对只要 由定义知, f （x ）在（2）证法二:任给 . 任 在闭区间上连续, 据一 所以, 对任给的 上一致连续. 时有 3． 设a>1, b>1为两个常数, 定义在 有 【答案】由由 （n 为任意正整数）, 而f （x ）在x=0附近有界, 所以 对故 , 由b>1可知存在正整数N , 使得, 于是取, 当 时有, 从而 4． 设f x , f y 在（0, 0）点附近存在, 且在（0, 0）点可微, 证明: , 【答案】因为 f x , f y 在（0, 0）点可微, 所以 两个混合偏导数相等. 由于 , . , 都存在. 下证: 因此 其中 . 注意到f x 在（0, 0）点可微 , 我们有 和 其中 是（ ）→（0, 0）时的无穷小量, 是 时的无穷小量 . 令 5． 设 证明:对任意无界. 【答案】对任意稠密性, 可以在 对任意正数中选取有理数 这样 对任意正数 由有理数的 任意正数 有 在 上 , 则 , 故有 . . 将式（ 2）、式（ 3）两式代入式（ 1）可得 第 3 页，共 37 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 这说明 在 上无界. 二、解答题 6． 设 级数 收敛 ， 是 f （ x ）在区间 而 上的正弦级数，求 【答案】对任意的m 、n>0, 由于法知 收敛，故由魏尔斯特拉斯判别 一致收敛， 所以由一致收敛函数列的性质知 7． 直径为6米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10 米处, 求球面上所受浮力. 【答案】如图所示, 球面在水深x 米处所受压力的微元为 故球面所受总压力为 由力的平衡可知, 球面所受浮力为一1108.35kN. 图 8． 设方程组 试问:（1）在什么条件下, 能确定以x , y , v 为自变量, u , z 为因变量的隐函数组? （2）能否确定以x , y, z为自变量, u , v为因变量的隐函数组? （3）计算 【答案】（1）令 则 F （x , w ） =0. 第 4 页，共 37 页