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一、证明题

1． 给定积分满足

证明:

【答案】利用复合函数的微分法, 有

通过计算易知

注意到

可得

, 作正则变换

, 区域D 变为

, 如果变换

二、解答题

2． 讨论下列各函数列

（a ）（b ）（1）（2）（3）

【答案】 （1）设

则

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在所定义的区间上:

.

与的一致收敛性；

是否有定理的条件与结论.

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所以（b ）因为的结论. 又

（2） （a ）

及

在[0, b]上均一致收敛.

在[0, b]

上一致收敛,

且每一项均连续,

故在[0, b]上一致收敛, 且每一项连续, 故

而

故

在[0, 1]上有间断点, 故

（b ）因定理的结论.

（3）

（a ）

, 故

故

所以又（b ）由于在[0, 1]上连续, 故

及

. 易求得故

在

处取得[0, 1]上的最大值

在[0

, 1]上不一致收敛

.

在[0, 1]上不一致收敛.

具有定理的条件与结论.

由于

, 从而

也不具有

不具有定理的条件. 又

即

在[0, 1]上一致收敛, 且每一项均连续,

所以

在[0, 1]上一致收敛. 又g

（x ）满足定理的条件, 进而有定理

满足定理的条件及结论.

在[0, 1]

上不一致收敛,

故

在[0,

1]上不一致收敛.

不满足定理的条件. 又

的每一项在[0, 1]上连续, 但g （x ）在[0, 1]上不连续, 故

在[0, 1]上均不一致收敛, 故具有定理的结论, 又有

及

3． 设函数

【答案】因为所以

4． 求空间曲线

上对应于点x=1的处的切线方程与法平面方程. 【答案】当x=1时, 有

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在x=0处不连续, 进而不可微,

故不具有定理13. 10, 13. 11的结论.

求它在点（a , b ，c ）的梯度.

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解之得设

通过计算易知,

在点

有

于是, 切线方程和法平面方程分别为:

和

在点

有

于是, 切线方程和法平面方程分别为:

和

5． 己知球半径为r , 验证高为h 的球缺体积

【答案】这个球缺可看作由曲线其体积可由旋转体体积公式

6． 设f （t ）在区间（a , b ）内连续可导, 函数

定义在区域【答案】因为

上, 证明:对任何

在（a , b ）内连续可导, 所以当

第 4 页

，共 28 页

与

. 于是对应于x=1

的点是,

绕x 轴旋转而成.

求得.

, 有

且.

时, 在[x, y]或[y, x]上, 应用拉