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一、证明题

1． 证明:级数

收敛.

则任意的n , 存在k ,

使

因

为

故b n 中使

得

所

以

【答案】证法一:

记

的项最多

有

由阿贝尔变换得

由柯西收敛准则知原级数收敛.

证法二:将该级数中符号相同的项加括号得

因为

即同理可证

故

为单调递减数列且趋于0, 故交错级数

与有

收敛, 从而原级数收敛.

在（0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）

, 即

知对

, 有

.

2． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且函数

在（0, 1）内连续.

【答案】这表明

所以

.

由

可知, 对

都存在. 又由

令得在式（1）中, 令

. 得

, 即

由式（2）、式（3）知, 连续.

由

. 类似地可证:, 从而f （x ）在点

的任意性知, f （x ）在（0, 1）内连续.

二、解答题

3． 计算积分

【答案】令.

4． 设函数f （x , y ）具有连续的n 阶偏导数, 试证:

函数

【答案】应用数学归纳法证明. 当n=l时,

且

设

成立, 则

所以, 对一切的n ,

5． 求极限:

【答案】（1）因为x , 连续点. 于是

的n 阶导数

都是R 上的连续函数, 所以当时, x 是的

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（2）该函数在x=1

处为右连续, 于是

6

． 已知平面上n 个点的坐标分别是

试求一点, 使它与这n 个点距离的平方和最小.

【答案】设所求的点为（x , y ）, 它与各点距离平方和为

由

得

因为

所以,

为S 的最小值点. 因此,

为所求的点.