当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

（1）（2）（3）若

为有界数列, 证明:

s , 则

（4）若

’

则为有界数列知.

也是有界数列, 故

并存在子列

与. 使得时有

, 即

（2）

设

于是, 此时有

由的任意性可得

*

即（3）设使得当

时,

有

由定理知, 对任给的

, 由此得

同理可证

, 使得’因此

2． 证明:（1）设f 在

（2）设f 在【答案】（1）设

上可导, 若上n 阶可导,

若

和

都存在, 则都存在, 则

, 由拉格朗日中值定理得

第 2 页，共 20 页

【答案】（1）由于是,

对于, 使得

都存在. 设

并且存在子列

则对任意>0, 存在N , 使得当n>N时有

,

任给

, 存在正整数N ,

使得当

按上极限、下极限的定义有,

由定理知, 对任给

的

存在N , 使得

当时,

有

由上、下极限的保不等式性可得

, 存在正整数N ,

,

, 又存在另一子列

使得

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

因为

（2）把函数其中

都存在且相等,

所以有, 故

在点

x 处展开为

n-l 阶泰勒公式得 . 把

看作未知数

, 解上述线性方程组. 设这

个线段方程组的系数矩阵为A ,

则

由范德蒙行列式的求值公式知, . 于是,

的线性组合. 由

可以表示为

存在可得

. .

存在（其中

于是. 由

存在（k=1, 2,

n-1）. 根据（1）的结论

,

的存在性可知

二、解答题

3． 试求累次积分

【答案】由于

故有

因为

4． 求下列极限:

（1）（2）（3）

第 3 页，共 20 页

与并指出它们为什么与定理的结果不符.

在点（0, 0）不连续, 所以与定理的结果不符.

（4）（5）【答案】 （1）（2）

（3）

（4）（5）

•

5． 设有一吊桥, 其铁链成抛物线形, 两端系于相距100m 高度相同的支柱上, 铁链之最低点在悬点下10m 处, 求铁链与支柱所成之角.

【答案】建立如图所示的坐标系, 则悬点A , B的坐标分别为链的方程为

于是

, 铁链与支柱所成之角

和

. 由此得铁

图

6． 计算下列二重积分:

（1）（2）（3）

, 其中D 由抛物线

, 其中

, 其中D 为图1中阴影部分;

第 4 页，共 20 页

与直线所围成的区域;