当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

（1）（2）

x

与（两部分都要计算）;

与直线y=x及x=2；

-x

（3）y=e、y=e与直线x=1；

（4）y=lnx，y 轴与直线y=lna，y=lnb（b>a>0） 【答案】（1）如图1，先计算图形D 1的囱积，容易求得的窄条面积近似于高为

与

的交点为（-2，2）

和（2，2）. 取x 为积分变量，则z 的变化范围为[-2，2]，相应于[-2，2]上的任一小区间[x，x+dx]

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图形D 2的囱积为

（2）如图2，取x 为积分变量，则32的变化范围为[l，2]，相应于[l，2]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

，底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图1 图2

（3）如图3，取2为积分变量，则x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为e x -e -x 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

（4）如图4，取y 为积分变量，则y 的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lInb]上的任一小区间[y，y+ dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为e 的窄矩形的面积，因此有

y

图3 图4

2． 设有一长度为1，线密度为μ的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力。

【答案】如图设立坐标系，取y 为积分变量，则Y 的变化范围为[0, 1]，对应小区间[y, y+dy]与质点M 的引力大小的近似值为轴方向的分量分别为

因此

，其中

，把该力分解，得到x 轴、y

图

3． 计算曲线

【答案】

相应于的一段弧的长度。

4． 求过点

【答案】

将点

（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点

=（2，9，﹣6）. 所求平面与

的线段，垂直的平面方程. ，设所求平面方程为

垂直，可取n=

2x ＋9y －6z ＋D=O

（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为

2x ＋9y －6z －121=0

5． 设可导函数

满足

求

。

【答案】在方程

即

且在原方程中取

可得

两端关于x 求导，得

由一阶线性方程的通解公式，得

代入初始条件

6． 求级数

【答案】由

的和。

得

将上式进行两次逐项求导，得

故

可得

故

二、证明题