2016年南京工业大学生物与制药工程学院高等数学(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
2． 利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值:
【答案】（1）
上式右端为一交错级数，有
故取3项，并在计算时取五位小数，可得
（2）因故
，边界为
.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
;
. . ，
边界为
; ;
由于
所以取3项，并在计算时取四位小数，可得
3． 将下列曲线的一般方程化为参数方程：
【答案】（1）将y=x代入取
，则
，得
，从而可得该曲线的参数方程
（2）将z=0代入取
，则
，得
，从而可得该曲线的参数方程
4． 求曲线
切线及法平面方程。
【答案】
与
相应的点
为，于是所求切线方程为
，曲线在该点处的切向量为
k
在与
相应的点处的
法平面方程为
即
5． 设可导函数
满足求。
【答案】在方程
即
且在原方程中取
可得
两端关于x 求导，得
由一阶线性方程的通解公式，得
代入初始条件
可得
故
6． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
二、证明题
7． 证明下列不等式:
（l ）当（2）当x>0时, （3）当
时,
时,
【答案】（l ）取函数
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