2016年南京师范大学教育科学学院高等数学(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
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2016年南京师范大学教育科学学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（一） . .... 2 2016年南京师范大学教育科学学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（二） . .... 5 2016年南京师范大学教育科学学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（三） . .... 8 2016年南京师范大学教育科学学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（四） . .. 12 2016年南京师范大学教育科学学院高等数学（同等学力加试）复试笔试仿真模拟题（五） . .. 19
一、计算题
1． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。
（l ）如果（2）如果（3）如果
存在，但和存在，但
不存在，那么都不存在，那么
不存在，那么
存在，则
在
时的极限都不存在，但
在
不存在; 不存在;
不存在.
也
【答案】（l ）对。因为，若存在，与己知条件矛盾.
（2）错。例如时的极限存在.
（3）错。例如
不存在，但。
2． 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20m 长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
【答案】如图, 设这问小屋的宽为x , 长为y , 则小屋的面积为S=xy。 已知令由
, 即
, 得驻点
知x=5为极大值点, 又驻点惟一, 故极大值点就是最大值点, 即当宽为5m , 长为10m
, 故
时这间小屋的面积最大。
图
3． 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度T 与时间t 的函数关， 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度? 系为T=T（t ）
【答案】在时间间隔[t，t+△t]内平均冷却速度
在时刻t 的冷却速度
4． 在曲面程。
【答案】
设所求点为面的法向量为（1, 3, 1）。
按题意，n 垂直于平面，故有
求得为
5． 利用函数的微分代替函数的增量求
【答案】利用
的近似值。
按逆时
。于是所求点为
，法线方程
，
曲面在该点处的一个法向量为
，平
上求一点，使这点处的法线垂直于平面
，并写出这法线的方
，取x=0.02，得
6． 一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成。试求当一质量为m 的质点沿圆周针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。
【答案】依题意，
t 从0变到，因此
二、证明题
7． 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值:
【答案】（1）函数P=x+y，Q=x-y在整个xOy 面这个单连通区域内，具有一阶连续偏导数，且
，故曲线积分在xOy 面内与路径无关。取折线积分路径MRN ，其中M 为（1，
l ），R 为（2，1），N 为（2，3），则有
（2）函数且
，故曲线积分在xOy 面内与路径无关。取折线积分路径MRN ，其中
M 为（1, 2），R 为（3, 2），N 为（3, 4），则有
（3）函数数，且
在xOy 面这个单联通区域内具有一阶连续偏导
故曲线积分在xOy 面内与路径无关。取折线积分路径MRN ，其中M
在xOy 面这个单连通区域内具有一阶连续偏导数，
，R 为（2, 0），N 为（2, 1），则
为（1, 0）
8． 设奇函数f （x ）在[-1, 1]上具有二阶导数, 且f （1）=1, 证明
（I ）存在（II ）存在日定理得, 存在
令
, 使得, 使得, 使得
, 由条件显然可知
, 使
, 且,
。
在[-l, l]上可导, 且, 使得
, 即
【答案】（l ）由于f （x ）为奇函数, 则f （0）=0, 又f （x ）在[-1, 1]上具有二阶导数, 由拉格朗
f x ）（2）由于（为奇函数, 则f’（x ）为偶函数, 由（l ）可知, 存在由罗尔定理可知, 存在
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